Das Geburtstagsparadoxon
Ein Ratespiel: wenn 50 Personen in einem Raum sind, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei davon am selben Tag Geburtstag haben? Vielleicht 20 Prozent? Oder 40 Prozent? Nein, tatsächlich liegt die Wahrscheinlichkeit bei 97 Prozent! Intuitiv würden viele sagen, dass es viel mehr Menschen bräuchte, und das ist das Paradoxe daran. So viele braucht es gar nicht. Und wir können das für jede beliebige Menge von Menschen berechnen!
Geben Sie hier die Menge an Personen ein, und wir sagen Ihnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit zwei davon an demselben Tag Geburtstag haben. Weiter unten haben wir auch eine Tabelle zum schnellen Nachschauen aufbereitet.
Gruppengröße
Bei 23 Personen haben mindestens zwei davon mit einer Wahrscheinlichkeit von 50,7 % am selben Tag Geburtstag.
Warum das so überraschend ist
Wenn wir die Frage auf unseren eigenen Geburtstag beziehen, also bspw. so: "Wie wahrscheinlich ist es, dass jemand meinen Geburtstag hat?“ dann ist das Geburtstagsparadoxon nachvollziehbar überraschend. Denn diese Wahrscheinlichkeit liegt mit z.B. 23 Personen bei gerade einmal rund 6 %.
Gefragt ist aber etwas anderes und zwar dass irgendein Paar zusammenfällt. Und Paare gibt es viele. Bei 23 Personen sind es bereits 253 mögliche Paare. Jedes einzelne Paar ist unwahrscheinlich, aber es sind eben sehr viele.
Die Zahlen im Überblick
| 5 Personen | 2,7 % | |
|---|---|---|
| 10 Personen | 11,7 % | |
| 15 Personen | 25,3 % | |
| 20 Personen | 41,1 % | |
| 23 Personen | 50,7 % | |
| 30 Personen | 70,6 % | |
| 40 Personen | 89,1 % | |
| 50 Personen | 97,0 % | |
| 60 Personen | 99,4 % | |
| 70 Personen | 99,9 % |
Ab 23 Personen kippt es über 50 %. Bei 50 Personen sind es schon 97 %, bei 70 praktisch 100 %. Eine Schulklasse reicht also fast immer.
Wie man es ausrechnet
Der Trick ist, die Frage umzudrehen: wie wahrscheinlich ist es, dass alle Geburtstage verschieden sind? Wir zählen das einfach am Beispiel mit 23 Personen ab:
- Die erste Person darf jeden Tag haben: 365 von 365.
- Die zweite muss ausweichen: 364 von 365.
- Die dritte: 363 von 365 – und so weiter.
- Alle Werte multiplizieren: 365/365 × 364/365 × 363/365 × ... × 343/365 ≈ 49,3 %. Für 23 Personen ergibt das 49,3 %.
- Der Rest – 50,7 % – ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Was echte Geburtenzahlen daran ändern
Die klassische Rechnung nimmt an, dass alle Tage gleich wahrscheinlich sind. Das stimmt nicht: In Deutschland kommen am 8. August rund 2.314 Kinder zur Welt, am 25. Dezember nur 1.430.
Ungleiche Verteilungen erhöhen die Trefferchance immer – Geburtstage „ballen“ sich. Rechnet man mit den tatsächlichen Zahlen des Statistischen Bundesamtes, steigt die Wahrscheinlichkeit bei 23 Personen von 50,73 % auf 50,79 %.
Der Effekt ist also real – aber winzig. Die deutsche Geburtenverteilung ist zu gleichmäßig, als dass er ins Gewicht fiele. Bei 23 Personen verschiebt sich die Schwelle um weniger als ein Zehntel Prozentpunkt. Das Paradoxon braucht die Ungleichverteilung nicht: Es funktioniert allein durch die Zahl der Paare.
Datenquelle: Statistisches Bundesamt (Destatis), eigene Berechnung · Datenquelle und Lizenz
Und Ihr eigener Geburtstag?
Hier können sie sich ausrechnen lassen, wie häufig Ihr Geburtstag in Deutschland ist.